সমকোণ, গণিত তথা জ্যামিতির অনেক গুরুপ্তপূর্ণ একটি বিষয়। স্কুল কলেজের শিক্ষার্থী সোহো বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য সমকোনের ধারণা থাকা অত্তান্ত জরুরি আজকের এই লেখায় আমরা জানবো, সমকোণ কাকে বলে ও এর অন্নান্য বিষয় সমূহ নিয়ে।
সমকোণ কাকে বলে?
জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতিক, সমকোণ বলতে ৯০° বা রেডিয়ান মাপ বিশিষ্ট কোণকে বোঝায়। যদি একটি রশ্মির পাদ বিন্দু একটি সরলরেখার উপর অবস্থান করে, এবং সন্নিহিত কোণ দুটি সমান হয়, তবে তারা সমকোণ।
সমকোণকে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:
- জ্যামিতিক সংজ্ঞা: একটি সমকোণ হলো একটি কোণ যার পরিমাপ ৯০°।
- ত্রিকোণমিতিক সংজ্ঞা: একটি সমকোণ হলো একটি কোণ যার সাইন, কোস, ট্যান, কোসেক, স্ক্যানেকট এবং কোট্যানজেন্ট মানগুলি সূত্রের মাধ্যমে নির্ণয় করা যেতে পারে।
- ভৌগোলিক সংজ্ঞা: একটি সমকোণ হলো একটি কোণ যার মাধ্যমে দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করে, এবং ছেদ বিন্দুতে ৯০° কোণ সৃষ্টি করে।
সমকোণে “সম” শব্দটি সম্ভবত ল্যাটিন বিশেষণ “রেক্টাস” থেকে এসেছে। “রেক্টাস” শব্দের অর্থ “খাড়া, সোজা, খাড়া, লম্ব”। এটির গ্রীক সমতুল্য শব্দ “অর্থোস” যার অর্থ “সোজা অথবা লম্ব”।
সুতরাং, “সমকোণ” শব্দের অর্থ হল “খাড়া কোণ” বা “লম্ব কোণ”।
সমকোণের কিছু উদাহরণ
- একটি বর্গের চারটি কোণই সমকোণ।
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের বিহত্তম কোনটি সমকোণ।
- একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কোণই সমকোণ।
সমকোণ ৯০ ডিগ্রি কেন হয়
৯০ ডিগ্রি হলো এমন একটি কোণ যা দুটি সরলরেখার ছেদ বিন্দুতে সৃষ্টি হয়। এই দুই সরলরেখা পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করে।
৯০ ডিগ্রির পরিমাপকে অন্যান্য পরিমাপের সাথে তুলনা করলে দেখা যায় যে, এটি একটি স্বতন্ত্র পরিমাপ। উদাহরণস্বরূপ, ৯০ ডিগ্রির পরিমাপ ১৮০ ডিগ্রি বা ৩৬০ ডিগ্রির অর্ধেক। ৯০ ডিগ্রি হলো এমন একটি কোণ যা ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাণ হতে পারে।
৯০ ডিগ্রির পরিমাপ অনেক প্রাচীনকাল থেকেই ব্যবহৃত হয়ে আসছে। গ্রিক গণিতবিদ প্রথম ৯০ ডিগ্রি কোণের ধারণা প্রবর্তন করেন। তারা একটি সরলরেখাকে ৯০ ডিগ্রি কোণে ভেঙে দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেন।
অতএব, সমকোণ ৯০ ডিগ্রি হয় কারণ, এটি একটি নির্দিষ্ট পরিমাপ যা জ্যামিতিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
কোণের প্রকারভেদ
কোণের প্রকারভেদ গুলো হলো:
| শ্রেণীবিভাগ | প্রকারভেদ |
| পরিমাপের ভিত্তিতে | সূক্ষ্মকোণ, সমকোণ, স্থূলকোণ, সরলকোণ, সম্পূর্ণ কোণ |
| বাহুর দৈর্ঘ্যের ভিত্তিতে | সমান বাহু কোণ, অসমান বাহু কোণ |
| অবস্থানের ভিত্তিতে | অন্তঃস্থ কোণ, বহিঃস্থ কোণ, বিপ্রতীপ কোণ |
| সম্পর্কিত কোণের ভিত্তিতে | সম্পূরক কোণ, পূরক কোণ, সমান কোণ, বিপরীত কোণ |
সমকোণী ত্রিভুজের সমাধান
সমকোণী ত্রিভুজের সমাধান বলতে বোঝায় সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা। সমকোণী ত্রিভুজের সমাধান করার জন্য বিভিন্ন উপায় রয়েছে। নিচে কয়েকটি উপায় দেওয়া হলো:
- পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে: পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ অন্য দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
a^2 + b^2 = c^2
যেখানে,
- a এবং b হলো সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য
- c হলো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য
উদাহরণস্বরূপ, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সেমি হলে, অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
(3^2) + b^2 = 5^2
9 + b^2 = 25
b^2 = 25 – 9
b^2 = 16
b = √16
b = 4
সুতরাং, অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি।
- ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ব্যবহার করে: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ব্যবহার করেও সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হলো এমন কিছু সংখ্যা যা সমকোণী ত্রিভুজের কোণ এবং বাহুর দৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।
উদাহরণস্বরূপ, একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 30° এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5 সেমি হলে, অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
sin 30° = 1/2
sin 30° = b/c
1/2 = b/5
b = 1/2 * 5
b = 2.5
সুতরাং, অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য = 2.5 সেমি।
- ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে: ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করেও সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। ত্রিকোণমিতিক সূত্র হলো এমন কিছু সূত্র যা সমকোণী ত্রিভুজের কোণ এবং বাহুর দৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।
উদাহরণস্বরূপ, একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 30° এবং অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সেমি হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
cos 30° = √3/2
cos 30° = b/c
√3/2 = 2/c
c = 2 * 2/√3
c = 4/√3
c = 4 * √3 / 3
সুতরাং, অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 4√3/3 সেমি।
সমকোণ বিসায়ক ধারাবাহিক প্রস্ন উত্তর
প্রশ্ন: সমকোণের পরিমাপ কত?
উত্তর: সমকোণের পরিমাপ ৯০°।
প্রশ্ন: সমকোণের উদাহরণ কী কী?
উত্তর: সমকোণের উদাহরণগুলি হলো:
- একটি বর্গের চারটি কোণই সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ।
- ঘরের কর্নার ।
প্রশ্ন: সমকোণের প্রকারভেদ কী কী?
উত্তর: সমকোণ কে প্রধানত তিন প্রকার করা যায়:
- প্রকৃত সমকোণ: যে সমকোণের পরিমাপ ৯০°।
- সমন্বিত কোণ: যে সমকোণের একপাশে ৯০° কোণ থাকে।
- সংশ্লিষ্ট কোণ: যে সমকোণের দুইটি শীর্ষ একই রেখায় থাকে এবং তাদের পরিমাপের যোগফল ৯০°।
প্রশ্ন: সমকোণের ব্যবহার কী কী?
উত্তর: সমকোণের ব্যবহার গুলি হলো:
- জ্যামিতিতে, সমকোণ বিভিন্ন আকৃতির পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয়।
- ত্রিকোণমিতিতে, সমকোণ বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক সূত্রের জন্য ব্যবহৃত হয়।
- ভূগোলে, সমকোণ বিভিন্ন স্থানের অবস্থান নির্ধারণের জন্য ব্যবহৃত হয়।
প্রশ্ন: সমকোণ সম্পর্কে আরও কিছু তথ্য বলুন।
উত্তর: সমকোণ সম্পর্কে আরও কিছু তথ্য হলো:
- সমকোণের চিহ্ন হলো “^”।
- সমকোণকে বিভিন্নভাবে প্রকাশ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, “৯০° কোণ”, “রেক্টাস কোণ”, “অর্থোস কোণ” ইত্যাদি।
- সমকোণ একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা যা জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
প্রশ্ন: একটি বর্গের চারটি কোণই সমকোণ। কেন?
উত্তর: একটি বর্গের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। একটি বর্গের প্রতিটি বাহুর সাথে লম্বভাবে অন্য একটি বাহু আঁকলে, তখন ঐ দুইটি বাহুর মধ্যবর্তী কোণটি ৯০° হয়। কারণ, ঐ দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করে।
প্রশ্ন: সমকোণের সংজ্ঞা কী?
উত্তর: সমকোণ হলো এমন একটি কোণ যার পরিমাপ ৯০°।
প্রশ্ন: সমকোণের প্রতীক কী?
উত্তর: সমকোণের প্রতীক হলো “^”।
প্রশ্ন: সমকোণ কেন গুরুত্বপূর্ণ?
উত্তর: সমকোণ একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা কারণ, এটি জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। জ্যামিতিতে, সমকোণ বিভিন্ন আকৃতির পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয়। ত্রিকোণমিতিতে, সমকোণ বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক সূত্রের জন্য ব্যবহৃত হয়। ভূগোলে, সমকোণ বিভিন্ন স্থানের অবস্থান নির্ধারণের জন্য ব্যবহৃত হয়।
প্রশ্ন:সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে কি বলে?
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ (Hypotenuse) বলে। অতিভুজ হলো সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু। এটির বর্গ অন্য দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, যেটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য নামে পরিচিত।
Also Read: গুনিতক কাকে বলে
